正弦定理是初中数学中比较基础的知识之一。正弦定理的表述是：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中$a,b,c$表示三角形中三边的长度，$A,B,C$表示三角形中三个内角的度数，$R$表示三角形外接圆的半径。
那么我们如何来证明正弦定理呢？下面将分几步来证明。
Step 1: 延长线段
首先，我们可以延长线段 $BC$，将 $ riangle ABC$ 变形成一个四边形，如下图所示：
对于四边形 $ABED$，可以根据正弦函数的定义来得到以下等式：
$$\sin \angle A=\frac{AD}{BD}, \ \sin \angle B=\frac{BE}{BD}$$
Step 2: 代入等式
将上面两个等式代入正弦定理的表达式中，得到：
$$\frac{a}{\sin A}=2R ,\ \frac{b}{\sin B}=2R$$
所以可以进一步得到：
$$\frac{a}{\frac{AD}{BD}}=2R,\ \frac{b}{\frac{BE}{BD}}=2R$$
Step 3: 化简式子
将上面两个式子分别化简：
$$a=\frac{2R\cdot AD}{BD},\ \ b=\frac{2R\cdot BE}{BD}$$
Step 4: 计算长度
因为 $AD BE=c$，所以 $BE=c-AD$，代入上面的式子中可得：
$$b=\frac{2R(c-AD)}{BD}$$
同理可得：
$$a=\frac{2R(bd)}{BD}$$
Step 5: 得到正弦定理
将上面两个式子代入正弦定理的表达式中，得到：
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{2R(bd)}{BD}\cdot \frac{1}{\sin A}$$
$$=\frac{2R(bd)}{2R}\cdot \frac{1}{\sin B}=\frac{bd}{\sin B}$$
同理可得：
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{bd}{\sin B}=\frac{ce}{\sin C}=2R$$
因此，正弦定理得证。
